Áruházunkat magyarra fordítjuk!
Mivel sok termék van az oldalunkon, ez időbe fog telni. Addig is a termékkatalógusunk angol nyelven lesz elérhető. Megértésüket köszönjük!
A tömegközéppont kiszámítása – példákkal
A tömegközéppont kiszámítása fontos lépés a gépészet, valamint a gépek és alkatrészek tervezése terén végzett számos feladat során. A tömegközéppont jelzi, hogy a test súlya hol van koncentrálva, így lehetővé teszi a rendszerben lévő erők és nyomatékok meghatározását. Ez a cikk a tömegközéppont kiszámításának alapjait vizsgálja, és néhány valós példát mutat be.
Mi a tömegközéppont?
A tömegközéppont vagy a súlyközéppont az, ahol a test teljes tömege koncentrálódik. Ezt az összes egyedi tömeg rendszeren belüli elhelyezkedése és a kiindulási ponttól való távolságuk határozza meg.
A tömegközéppont a gravitáció „támadáspontja”. Az objektum ponttömegként viselkedik a gravitációs mezőben.
Fontos – a tömegközéppont a testen kívül is lehet. Például félgömbhéjak esetén. A nyomaték hatástalan, ha a tömegközéppontban fejtik ki.
Homogén testek esetén (amelyek mindenütt egyenlő denzitásúak) a tömegközéppont a geometriai súlypontnak (térfogatközéppont) felel meg – ezek a testek úgynevezett triviális egyéni tömegek. Ezért a homogén testek súlypontját legkönnyebb meghatározni.
A homogén testek ellentétei az úgynevezett inhomogén testek – különböző denzitásúak a test egyes részeiben. Nem tekinthetők egyéni tömegnek. Az ilyen testeket megfelelő egyéni tömegekre kell osztani, egyénileg kell kiszámítani, és végül a teljes rendszerbe foglalni.
A tömegközéppont-számítás számos mérnöki alkalmazásban fontos.
Példa erre a gép és alkatrészeinek kialakítása: itt a komponensek súlypontját úgy kell kiválasztani, hogy a teljes gép stabil és biztonságos legyen, és az alkatrészei megfelelően „kiegyensúlyozottak” legyenek.
Módszerek a tömegközéppont kiszámításához
Különböző módszerek léteznek a tömegközéppont meghatározására a geometriától és a tömeg (sűrűség) rendszerben való eloszlásától függően.
- A homogén testeken a térfogat középpontja választható ki súlypontként, feltéve, hogy minden sűrűség egyenletesen oszlik el.
- Inhomogén testek esetén a tömegközéppontot az összes pontsűrűség figyelembevételével kell meghatározni.
Általában a tömegközéppont kiszámítható az összes résztömeg összegeként, megszorozva az origótól való távolságukkal, osztva a teljes tömeggel. A test véges almennyiségekre bontható.
A modern CAD-programok vagy a FEM (végeselemes módszer) programok standard funkcióként kínálnak ilyen számítási módszereket a tömegközépponthoz.
Tömegközéppont és térfogatközéppont
A térfogatközéppont nem veszi figyelembe a test tömegét vagy sűrűségét. A térfogatközéppont ezért a tömegközéppont speciális esete, amikor a tárgyban egységesen oszlik el a sűrűség.
A tömegközéppont kiszámítása homogén testek esetén egyszerűsíthető.
A számításokhoz szükséges erőfeszítések és a számítások előnyei
Az egyes tömegek megfelelő felosztása nem mindig triviális – különösen a nem egységesen elosztott sűrűségek esetében. Az ilyen problémák számítási és kísérleti úton is megoldhatók. Az eredmény pontossága várhatóan a megvalósítható számítási mélységtől vagy a mérési pontosságtól függ. Az eredmények csak hozzávetőlegesek – ezért az erőfeszítések és az előnyök mérlegelése szükséges.
Homogén testek tömegközéppontja
Homogén testek, például kuboidok vagy hengerek esetén a súlypont geometriai megfontolások alapján könnyen meghatározható.
Ebben az esetben a szimmetriák a probléma egyszerűsítésére használhatók.
A tömegközéppont megegyezik a mértani súlyközépponttal, és könnyen kiszámítható. Ebben a példában a tömegközéppont egyidejűleg a kör alakú terület középpontja és a téglalap vetített területe.
Tömegközéppont szabálytalan alakú vagy inhomogén tárgyakhoz
Szabálytalan alakú tárgyak esetén minden pontot (pontsűrűséget) külön kell figyelembe venni, és ki kell számítani a teljes tömeghez való hozzájárulását.
Ezt a megközelítést integrálásnak is nevezik.
Polihedron egyenletesen elosztott sűrűséggel
A test geometriai súlypontját úgy számítják ki, hogy a testet megfelelő részleges testekre osztják. A rendszer kiszámítja a részleges testek súlypontjait, majd súlyozza őket a terület vagy térfogat arányával.
A geometriai súlypont a tömegközéppont.
Polihedron egyenetlen eloszlású denzitással
A test geometriai súlypontja egyenetlenül elosztott denzitással azonos a test geometriai súlypontjával, egyenletesen elosztott denzitással.
A geometriai súlypont nem a tömegközéppont.
A testet megfelelő részleges testekre kell bontani, és egyéni súlypontjaikat az alak és az egyenlőtlen eloszlású denzitás alapján kell meghatározni.
A tömegközéppontot a részleges testekből számítják ki, figyelembe véve a test térfogatát és a testtömeget
(x_s,y_s,z_s) = \frac{1}{M}\sum_i(x_{si}, y_{si}, z_{si})\cdot m_i
- M - Teljes tömeg
- mi - Részleges tömeg
- (xsi, ysi, zsi) - az 1. résztest súlypontjának koordinátái a térben rögzített koordinátarendszerben (x, y, z)
- (xs, ys, zs) - a térben rögzített koordinátarendszerben a teljes objektum súlypontjának koordinátái (x, y, z)
Különleges formula a tömegközépponthoz
Ha fokozatosan finomabb lebontásokat végez, a részleges mennyiségek vagy a részleges tömegek „közelítőleg nullák” lesznek. Ennek eredményeként a fenti közelítési képlet integrállá alakul.
A súlypont így nagyon pontosan meghatározható:
x_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)xdV
y_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)ydV
z_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)zdV
- M - Teljes tömeg
- p(x, y, z) - Az anyag helyi sűrűsége
- V - A komponens térfogata
Komplex rendszerek tömegközéppontja
Az összetett rendszerek több összekapcsolt különálló testből állnak, amelyek mindegyikének megvan a saját súlypontja.
Az összes alobjektum közös súlypontjának megtalálásához mindegyik pontot a megfelelő tömeggel kell súlyozni.
Példa a számításra: 2 alrendszer kombinált súlypontja
A két különálló alrendszerből álló rendszer egy kombinált súlyponttá egyesül.
x_s=\frac{x_{s1}\times m_1+x_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
y_s=\frac{y_{s1}\times m_1+y_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
z_s=\frac{z_{s1}\times m_1+z_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
- m1 - 1. résztest tömege
- (xs1, ys1, zs1) - az 1. résztest súlypontjának koordinátái a térben rögzített koordinátarendszerben (x, y, z)
- m2 - 2. résztest tömege
- (xs2, ys2, zs2) - a részleges test 1 súlypontjának koordinátái a térben rögzített koordinátarendszerben (x, y, z)
- (xs, ys, zs) - a térben rögzített koordinátarendszerben a teljes objektum súlypontjának koordinátái (x, y, z)
A tömegközéppont kísérleti meghatározása
A tömegközéppont kísérleti úton is meghatározható. A kísérleti mérési módszereknek vannak előnyei a pusztán elméleti számításokkal szemben:
- Ezek függetlenek az anyagmodelltől,
- automatikusan figyelembe veszik az összes hibaforrást,
- olyan közvetlen mérést biztosítanak, amely nem függ feltételezésektől vagy becslésektől.
Rezgés módszere
A rezgő módszer a harmonikus rezgőrendszer elvén alapul. Ez azt jelenti, hogy egy tárgyat egy vékony drótra kell felfüggeszteni, és oszcillálni kell. A szögsebesség az időtartam mérésével számítható ki. A szögsebesség ezután felhasználható a szuszpenziós pont és a tömegközéppont közötti távolság meghatározására.
| Előnyök: |
|
| Hátrányok: |
|
Mérleg módszere
Ezzel a módszerrel a vizsgálandó objektumot egy platformmérlegre helyezi, és megméri a súlyát. Ezután ugyanezt az eljárást egy második súlyponttal végzik el, hogy megmérjék a távolságot mindkét pont között. A súlyerőt a távolsággal megszorozva nyomatékegyenletet kapunk a tömegközéppont meghatározására.
| Előnyök: |
|
| Hátrányok: |
|
Megdöntési módszer
A megdöntési módszer a statikus stabilitás elvén alapul. A vizsgálandó tárgyat sík felületre helyezik, és a súlyok különböző pozícióba történő mozgatásával tesztelik a megdöntést. A tömegközéppont ezután a gravitációs középvonal meghatározásával is meghatározható.
| Előnyök: |
|
| Hátrányok: |
|
